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PROGRAMMAZIONE LINEARE
La matematica è un grandioso e vasto paesaggio aperto a tutti gli uomini a cui il pensare arrechi gioia, ma poco adatto a chi non ami la fatica del pensare.
Immanuel Lazarus Fuchs
<p>Un famoso pastificio produce due diversi formati di pasta, gli stracciozzi (A) e i superstracciozzi (B), di larghezza rispettivamente pari a 1.2 e 1,5 cm, in tre diverse composizioni:<br/>semola (bianca), spinaci (verde) e pomodoro (rosso). I diversi tagli vengono effettuati su una sfoglia base larga 6 cm, secondo tre diverse modalità :<br/>mod1 A A A A A<br/>mod2 B B B B<br/>mod3 A A B B B<br/>Per il prossimo mese l'azienda ha i seguenti ordini da soddisfare (numero di confezioni):<br/>pasta num.confezioni colore<br/>A 1000 bianca<br/>A 800 rossa<br/>A 700 verde<br/>B 2000 bianca<br/>B 1200 rossa<br/>B 1000 verde<br/>Sapendo che il prezzo delle sfoglie rosse e verdi è pari a 1,5 volte quello delle sfoglie bianche, formulare come PL il problema di minimizzare il costo delle sfoglie da utilizzare per soddisfare gli ordini.</p>
11.02.12
<p>Una segheria produce pezzi di legno per scaffalature, tagliando assi di legno lunghe un metro. In particolare, si devono produrre nel prossimo periodo 70 pezzi da 30cm, 62 pezzi da 50cm e 37 pezzi da 70 cm. Ogni asse da un metro costa 2 Euro. Inoltre, ogni pezzo prodotto in eccesso rispetto alla domanda, costa all'azienda 5 centesimi per il suo smaltimento. Formulare il problema di decidere come tagliare le assi in modo da minimizzare il costo complessivo, soddisfacendo la domanda.</p>
11.02.12
<p>Un'industria chimica produce tre composti chimici P1, P2 e P3. Per la produzione dei composti P1 e P2 sono utilizzati due componenti C1 e C2. In Tabella seguente sono riportate le quantit a (in quintali) di componenti che devono essere impiegate per produrre un quintale di P1 e P2.<br/>C1 C2<br/>P1 0.7 0.3<br/>P2 0.2 0.8<br/>Per la produzione di un quintale di P3 devono invece essere impiegati C1 e P2 nelle quantità riportate in tabella seguente.<br/>C1 P2<br/>P3 0.4 0.6<br/>Per il prossimo mese devono essere immessi sul mercato almeno 500, 1000 e 1500 quintali di P1, P2 e P3, rispettivamente, mentre i prezzi di vendita (euro/quintale) dei tre composti sono 70, 60 e 85, rispettivamente. Sapendo che sono disponibili in totale 1500 quintali di componente C1 e 3000 quintali di componente C2 nel prossimo mese, formulare come problema di Programmazione Lineare il problema di pianificare la produzione del mese in modo da massimizzare il profitto.</p>
11.02.12
<p>Una ditta produce, tagliando lastre di alluminio di 5 metri, tre tipi di lastre: lastre A<br/>di 3 metri, lastre B di 2 metri e lastre C di 1.5 metri. Ogni lastra da tagliare costa 10<br/>Euro, mentre ogni singolo taglio costa 30 centesimi. Sapendo che nel prossimo periodo è richiesta la produzione di 500 lastre di tipo A, 650 lastre di tipo B, e 800 lastre di tipo C, formulare come problema di programmazione lineare intera il problema di trovare la più conveniente strategia di taglio che soddisfa la domanda.</p>
11.02.12
<p>La forza lavoro di una piccola compagnia è tale che il numero di lavoratori varia ogni giorno, a seconda delle necessità. Tuttavia, per esigenze sindacali, occorre che ogni impiegato lavori per 5 giorni consecutivi. Supponendo che la domenica non si lavora, e che i requisiti giornalieri di personale siano quelli riportati nella tabella seguente, formulare come Programmazione Lineare Intera il problema di determinare un assegnamento di risorse che soddisfa i requisiti e che minimizza il numero complessivo di lavoratori utilizzati. Si formuli inoltre il problema duale (dopo aver rilassato i vincoli di interezza).<br/>giorno dom lun mar mer gio ven sab<br/>lavoratori 6 11 10 12 14 15 13</p>
11.02.12
<p>Un'azienda di surgelati acquista merluzzo fresco per produrre bastoncini impanati surgelati.<br/>Supponiamo che il processo produttivo non comporti scarti, cioè il 100% del pesce viene trasformato in prodotto. Il prezzo di acquisto del pesce e la domanda del mercato variano ogni trimestre, secondo la seguente tabella:<br/>trimestre 1 2 3 4<br/>prezzo (Euro/quintale) 50 45 60 70<br/>domanda (quintali) 100 70 150 200<br/>Il prezzo di vendita dei bastoncini è di 250 Euro al quintale mentre il costo per la trasformazione e il surgelamento è di 25 Euro al quintale. Il prodotto che non viene venduto alla fine del trimestre, viene mantenuto nel magazzino surgelatore. Il costo per mantenere un quintale di bastoncini in magazzino è di 6 Euro per mese. La capacità di trasformazione della fabbrica è di 150 quintali al mese, la capacità massima del magazzino è di 80 quintali.<br/>Analizzando costi e guadagni solo all'inizio di ogni trimestre, e supponendo che a ogni inizio anno il magazzino deve essere vuoto,<br/>a) si formuli il problema di pianificare la produzione per il prossimo anno in modo da massimizzare il profitto della azienda.<br/>b) Modificare la formulazione in modo da considerare la deperibilità della merce immagazzinata (la merce non può rimanere in magazzino più di 3 mesi).</p>
11.02.12
<p>Un'industria dolciaria produce cioccolato al latte e cioccolato fondente. Ogni confezione di cioccolato al latte richiede 3 etti di latte e un etto di cacao, mentre ogni confezione di cioccolato fondente richiede un etto di latte e 2 etti di cacao. Per la produzione giornaliera l'industria dispone di 9 chili di latte e 8 di cacao. I profitti di vendita per ogni confezione di cioccolato al latte e fondente sono rispettivamente di 4 e 6 euro. Definire il modello di Programmazione lineare per la determinazione della produzione giornaliera di ciascun tipo di cioccolato in modo da massimizzare il profitto. Determinare la soluzione ottima.</p>
11.02.12
<p>Un'azienda produce palloni da calcio. La domanda prevista (migliaia di unità) per il prossimo semestre e i costi di produzione (Euro per pallone) sono riportati nella seguente tabella<br/>MESE 1 2 3 4 5 6<br/>domanda 10 15 30 35 25 10<br/>costo di produzione 12 12 13 14 14 11<br/>Sapendo che la capacità produttiva dell'impianto è pari a 30000 palloni al mese, che il costo di stoccaggio di un pallone alla fine di un mese è pari al 10% del costo di produzione di quel mese, che il magazzino ha una capacità massima di 10.000 palloni e che all'inizio del semestre in magazzino sono presenti 5000 palloni, formulare il problema di pianificare la produzione in modo da soddisfare la domanda e minimizzare il costo complessivo (costo di produzione + costo di stoccaggio) per l'intero semestre.</p>
11.02.12
<p>Un mobilificio produce due tipi di scaffali, A e B. Secondo la distinta base, ogni scaffale<br/>richiede una certa quantità di legno, un certo numero di viti e bulloni, e un certo numero<br/>di ore di manodopera.<br/>tipo [legno(kg)] [viti/bulloni] [manod.(ore)] [euro/scaffale avvit.] [euro/scaffale incoll.]<br/>A ... 2 ..... 4 ... 1.5 ... 250 ... 150<br/>B ... 1.5 ... 7 ... 3 ..... 200 ... 120<br/>Attualmente, l'azienda dispone di 100 kg di legno, 500 coppie viti/bulloni, e 300 ore di<br/>manodopera. In mancanza di viti e bulloni, è possibile utilizzare la colla (che supponiamo<br/>disponibile in abbondanza), ottenendo però un prodotto di minore qualità . In tabella<br/> sono riportati i requisiti di legno, viti/bulloni, e manodopera per ogni tipo di<br/>scaffale, insieme ai prezzi di vendita degli scaffali avvitati e di quelli incollati. <br/>Si vuole formulare il problema di determinare il piano di produzione in modo da massimizzare il profitto.<br/></p>
11.02.12
<p>Da una recente statistica, il ministero delle attività produttive ha ottenuto i seguenti dati riguardo la produttività e il tesso di disoccupazione in varie aree della nazione.<br/>area PIL tasso di disoccupazione<br/>nord-ovest 17 5<br/>nord-est 21 3<br/>centro 14 8<br/>sud 9 12<br/>isole 5 20<br/>A partire dai dati rilevati, il ministro vuole stabilire una relazione lineare tra le due grandezze, in modo da pianificare gli interventi futuri. Formulare il problema di trovare la retta di regressione per i dati rilevati come problema di PL.</p>
11.02.12
<p>La compagnia di navigazione Moby Duck deve raggiungere i porti sardi di Cagliari, Olbia, Arbatax a partire dai porti di Civitavecchia, Livorno, Piombino. Il costo di navigazione di ogni singolo tragitto è riportato nella seguente tabella:<br/>Civitavecchia Livorno Piombino<br/>Cagliari 1.2 2 1.4<br/>Olbia 0.8 1.4 1<br/>Arbatax 1 1.8 1.1<br/>Sapendo che per la prossima estate i tre porti sardi possono ricevere al massimo 350, 270 e 160 navi, rispettivamente, e che dai porti continentali possono partire al massimo 220, 470 e 180 navi, rispettivamente, e sapendo inoltre che mediamente le navi in partenza da Livorno (passeggeri più danarosi) rendono 3 volte più di quelle in partenza da Civitavecchia, e 2 volte di più di quelle in partenza da Piombino, pianificare il flusso marittimo più redditizio per l'estate (il modello è volutamente semplificato e non considera le previsioni di domanda dei passeggeri).</p>
11.02.12
<p>Il ministro delle infrastrutture Solardi deve utilizzare un budget di 10 miliardi di Euro per realizzare 4 importanti grandi opere pubbliche: il ponte sullo stretto di Messina, la variante di valico, il porto di Genova, e il terzo traforo del Gran Sasso. Una stima iniziale dei costi permette di stabilire il costo minimo di ogni progetto, riportato nella seguente tabella. Inoltre, accade sempre, per via di diversi fattori, che i soldi investiti non sono destinati a essere totalmente produttivi. Nella tabella, sono riportati anche, per ogni progetto, gli indici percentuali di produttività per ogni miliardo di euro investito.<br/>opera costo minimo (mld) produttività (%)<br/>ponte 5.5 40<br/>variante 1.5 75<br/>porto 1.2 95<br/>traforo 0.8 60<br/>Sapendo che ai due progetti del sud deve essere destinato almeno il 30% in più dei fondi destinati ai due progetti del nord (per motivi di unità della coalizione politica di maggioranza), si formuli come PL il problema di ripartire il budget tra le diverse opere in modo da massimizzare la produttività complessiva.</p>
11.02.12
<p>Un'azienda produce tre tipi di leghe metalliche, A, B, C, utilizzando diverse materie prime, delle quali la più critica è l'acciaio. Di quest'ultima per il prossimo mese sono disponibili dal fornitore 5500 kg. Un chilogrammo di acciaio costa all'azienda 4 Euro. Le altre materie prime hanno invece costi trascurabili. Nella tabella seguente sono riportati rispettivamente i requisiti di acciaio (kg per 1 kg di prodotto), i costi di produzione (in Euro per kg di prodotto) al netto delle materie prime, e i profitti (in Euro per kg di prodotto) di vendita per ognuno dei prodotti A, B e C.<br/>...Acciaio costo profito<br/>A 0,1 12 25<br/>B 0,7 6 20<br/>C 0,4 8 30<br/>Formulare il problema di pianificare la produzione del prossimo mese in modo ottimo,<br/>sapendo che per motivi ecologici non possono essere immessi sul mercato più di 500 kg di<br/>lega A, e che per ogni kg di lega A non possono essere immessi sul mercato più di 3 kg<br/>di prodotto B.</p>
11.02.12
<p>La Bandabassottipol S.p.A. intende investire 10 milioni di euro, frutto dei risparmi dei suoi tanti clienti. A tale scopo, il management dell'azienda ha identificato 4 diversi fondi di investimento. Nella seguente tabella sono indicati gli investimenti richiesti in milioni di dollari per ogni tipo di fondo, il loro valore attuale ed il numero di quote disponibili.<br/>.....................Fondo 1 Fondo 2 Fondo 3 Fondo 4<br/>Investimento richiesto 4 3 1 8<br/>Valore 34 30 10 48<br/>Disponibilità 3 1 5 2<br/>Formulare il problema e applicare un metodo di ottimizzazione opportuno per trovare la soluzione ottima.</p>
11.02.12
<p>Sienambiente, l'istituto comunale della citt di Siena per la tutela ecologica del suo territorio, si occupa, tra l'altro, della riforestazione delle aree dove l'impatto antropico stato maggiormente invasivo. Nella tabella seguente sono riportati i dati rilevati in varie località, relativi al livello di disboscamento causato dall'uomo e al numero di alberi reimpiantati, sulla base del programma di recupero ambientale.<br/>Località Tasso di disboscamento Numero di alberi reimpiantati<br/>Monticiano 7 25<br/>Montalcino 3 14<br/>San Gimignano 2 6<br/>Pienza 8 30<br/>Montepulciano 4 15<br/>Per pianificare il costo degli interventi futuri, si vuole trovare una retta di regressione del tipo y = mx+n che sintetizzi i dati rilevati. Formulare un modello di Programmazione Lineare per tale problema.</p>
11.02.12
<p>La Seafood&C si compone di tre stabilimenti (che chiameremo A, B e C) in cui si allevano vongole. La produzione di vongole comporta l'emissione di sostanze inquinanti. Per ogni inquinante, nella tabella seguente sono riportate le emissioni di ogni stabilimento per unità di produzione (quintale di vongole) e la produzione attuale (in quintali di vongole).<br/>fosfati carbonati nitrati azoto produzione attuale<br/>A 4 2 1 9 20<br/>B 3 1 5 6 30<br/>C 1 7 3 7 10<br/>Nel prossimo periodo, si richiede che ogni stabilimento abbia un livello di produzione almeno pari a quello attuale, e che non produca più di 500 quintali di vongole.<br/>Leggi sulla tutela ambientale impongono che nella zona interessata non si possano avere valori complessivi degli inquinanti più alti di quelli riportati in tabella seguente,fosfati carbonati nitrati azoto<br/>100 210 180 250<br/>Sapendo ogni stabilimento vende un quintale di vongole al prezzo riportato nella tabella<br/>seguente, espresso in euro per chilo, formulare come PL il problema di massimizzare il<br/>profitto complessivo.<br/>A B C<br/>50 60 40<br/></p>
11.02.12
<p>La nota azienda produttrice dei condizionatori Co.co.dè , deve far fronte a una domanda, variabile di mese in mese, nella prossima stagione estiva. Per soddisfare i picchi di richieste, vengono utilizzate delle ulteriori risorse produttive temporanee (i cosiddetti lavoratori co.co.co), in ogni mese. Nella tabella seguente sono riportati, mese per mese, i costi unitari di produzione (cioè, per singolo condizionatore) e la domanda di condizionatori da parte del mercato.<br/>mese giugno luglio agosto<br/>domanda (unità ) 10000 25000 20000<br/>costi di produzione (Eurocent) 600 750 650<br/>Supponendo che a fine maggio sono presenti in magazzino 2500 condizionatori, che il costo mensile di stoccaggio di un condizionatore alla fine di un mese pari al 30% del suo costo di produzione in quel mese, che il magazzino ha una capacità massima pari a 3000 unità, formulare come problema di programmazione lineare il problema di pianificare la produzione mensile in modo da minimizzare il costo complessivo (costo di produzione più costo di stoccaggio).</p>
11.02.12
<p>Un'azienda deve pianificare le spedizioni dei propri prodotti dai suoi magazzini M1, M2, M3, che dispongono rispettivamente di 100, 250 e 200 unità di prodotto, verso quattro punti vendita V1, V2, V3 e V4, che richiedono forniture di almeno 90, 120, 150 e 100 unità rispettivamente. I costi di trasporto per ogni unità di prodotto su ogni singola tratta da Mi a Vj sono dati dalla seguente tabella:<br/>V1 V2 V3 V4<br/>M1 1 7 2 3<br/>M2 4 9 8 10<br/>M3 5 2 1 3<br/><br/>1. Suppondendo le unità di prodotto divisibili, si formuli come programmazione lineare il problema di pianificare la spedizione a costo minimo.<br/>2. Aggiungere al modello ulteriori vincoli per mantenere un livello di scorta minima in ogni magazzino, pari al 20% della sua disponibilità attuale.</p>
11.02.12
<p>Una nota azienda petrolifera produce tre diversi tipi di benzine, di diverse qualità: Simple,<br/>Medium e Super. I prodotti si ottengono mediante lavorazione di due diverse materie prime, Raw1 e Raw2. Nella pianificazione del prossimo anno di produzione, l'azienda ha stimato che le disponibilità di materie prime sono pari a 20000 e 35000 quintali,<br/>rispettivamente, per Raw1 e Raw2. I requisiti di materie prime per la produzione di un quintale di prodotto Simple, Medium e Super sono riportati, in quintali, in tabella seguente:<br/>Simple Medium Super<br/>Raw1 5 7 10<br/>Raw2 1 3 5<br/>Inoltre, la benzina Super può anche essere prodotta secondo lo schema riportato nella tabella che segue. Questo prodotto, data la sua purezza, risulta essere di qualità superiore e dunque verrà venduto come benzina speciale a un prezzo maggiorato del 20% rispetto a quello della super.<br/>Raw1 Medium<br/>Super 50 10<br/>Formulare il problema di pianificare la produzione in modo da massimizzare il profitto sapendo che il ricavo unitario (in Euro per kilogrammo) per le tre benzine è:<br/>Simple Medium Super<br/>Ricavo 1 1.5 2</p>
11.02.12
<p>Una raffineria produce due tipi di benzina: Super e Normal. Le benzine sono prodotte miscelando 2 prodotti base: mA e mB. Un litro di benzina Super richiede 0,3 litri di mA e 0,1 litro di mB, mentre un litro di benzina Normal richiede 0,1 litri di mA e 0,2 litri di mB.<br/>Per la produzione settimanale la raffineria dispone di 9000 litri di mA e 8000 litri di mB.<br/>I profitti di vendita per mille litri di benzina Super e Sprint sono rispettivamente di 400 e 600 euro. <br/>Definire il modello di Programmazione lineare per la determinazione della<br/>produzione settimanale di ciascun tipo di benzina in modo da massimizzare il profitto.</p>
11.02.12
<p>Nel laboratorio di ricerca del Gran Sasso si stanno studiando alcune soluzioni per eliminare<br/>gli scarti tossici dal composto Z utilizzato per gli esperimenti nucleari. A seguito di uno<br/>studio condotto dai ricercatori, si ha che i termini di legge sui rifiuti tossici sono soddisfatti<br/>se in una tonnellata di composto Z e presente una percentuale di nichel compresa fra il<br/>7% e l'11%, una percentuale di cadmio tra 2% e 5% e infine una percentuale di manganese<br/>tra 1,5% e 2%. Ogni tonnellata di composto Z e ottenuta miscelando insieme due diversi<br/>componenti, A e B, il cui contenuto di nichel, cadmio e manganese in percentuale e<br/>riportato, per ogni tonnellata, nella tabella seguente. In tabella sono riportati anche i<br/>costi per ogni tonnellata di componente. Formulare il problema di trovare la quantit a di<br/>componenti A e B che produce 1 tonnellata di composto Z a minor costo, e che rispetta i<br/>requisiti di legge.<br/>Componente A Componente B<br/>Nichel 5 8<br/>Cadmio 2 3<br/>Manganese 1 2<br/>Costo (MEuro per ton.) 3 4</p>
11.02.12
<p>Un'impresa per la produzione di beni di consumo deve essere gestita in modo da tenere conto delle fluttuazioni della domanda di tali beni su un periodo standard di 6 mesi (gennaio - giugno e luglio - dicembre). I mezzi per adattare l'azienda a tali fluttuazioni sono:<br/>1. cambiare la quantità di forza lavoro assumendo o licenziando operai;<br/>2. coprire le punte della domanda con lavoro straordinario;<br/>3. immagazzinare merce in vista di richieste future.<br/>Ognuna di queste strategie ha le sue limitazioni. La strategia (1) è limitata ad un massimo di 5 operai al mese (sia in più che in meno) con un sovrapprezzo di 500 euro per una nuova assunzione e di 700 euro per ogni licenziamento. La strategia (2) deve tener conto che ogni operaio può al massimo fornire in più 6 unità al mese col lavoro straordinario mentre ne produce 20 regolarmente e che tale prestazione graverà per 30 euro in più per ogni unità di merce prodotta. Ci sono attualmente (inizio semestre) 40 operai ed il magazzino è vuoto: di fatto la politica a lungo termine dell'azienda richiede che il magazzino sia vuoto alla fine di ogni semestre. Le fluttuazioni delle domande previste nei prossimi 6 mesi sono riportate in figura.<br/><br/>mese ..................... 1 ... 2 ... 3 ... 4 ... 5 ... 6<br/>unità di merce richiesta 700 600 500 800 900 800<br/>Formulare come un problema di PL. </p>
11.02.12
<p>La GELAR produce pacchi di patatine surgelate, sia a bastoncino (A), che in pezzi più piccoli (B) (per le cosidette patate alla svizzera), e di fiocchi (C) (non surgelati) per il purè. La compagnia acquista patate da due produttori (p1 e p2) con rese differenti, riportate nella seguente tabella (l'avanzo del 30 è lo scarto non recuperabile).<br/><br/>produttore A B C<br/>p1 .......... 20% 20% 30%<br/>p2 .......... 30% 10% 30%<br/>Il profitto della GELAR è di 0.50 euro lire per kg di patate provenienti dal produttore 1 e di 0.60 euro per kg per quelle provenienti dal produttore 2. Ci sono poi delle limitazioni alla quantità di ciascun tipo di prodotto: 6 tonnellate di A, 4 di B e 8 di C. Formulare il problema di massimizzare il profitto secondo il modello della PL.</p>
11.02.12
<p>Il gestore di una raffineria dispone di 10 milioni di barili di greggio di tipo A e di 6 milioni di greggio di tipo B. La raffineria dispone di tre diversi impianti per produrre sia nafta per riscaldamento (profitto 3 euro/barile) sia benzina (5 euro/barile) con le caratteristiche di rendimento (in barili) riportate in figura:<br/><br/>......... Input ......Output<br/>Impianto A B Benzina Nafta<br/>1 ...... 3 5 4 3<br/>2 ...... 1 1 1 1<br/>3 ...... 5 3 3 4<br/><br/>Formulare il problema di massimizzare il profitto secondo il modello della PL.</p>
11.02.12
<p>Una ferriera possiede due miniere e tre impianti per la produzione di acciaio. Gli impianti richiedono rispettivamente 70, 140 e 100 tonnellate di minerale, mentre le miniere producono nello stesso periodo rispettivamente 100 e 200 tonnellate di minerale. La tabella seguente riporta i costi di trasporto dalle miniere agli impianti in lire/tonnellate.<br/><br/><br/>da \\ a impianto1 impianto2 impianto3<br/>miniera1 100 160 250<br/>miniera2 150 300 200<br/>Formulare il problema di minimizzare il costo di trasporto secondo il modello della PL. </p>
11.02.12
<p>Per ben alimentare un certo tipo di animale è necessario fornirgli 4 sostanze base: A, B, C e D. La quantità minima giornaliera che ogni animale richiede é data da: 0,4 kg di A; 0,6 kg di B; 2 kg di C; 1,3 kg di D. Il foraggio è ottenuto mescolando due farine M ed N. <br/>1kg di M contiene: 100 gr di A; nulla di B; 100 gr di C; 100 gr di D. <br/>1kg di N contiene: nulla di A; 100 gr di B; 200 gr di C; 100 gr di D. <br/>Con 1 ECU possiamo comperare 4 kg di M o 8 Kg di N. Formulare il problema di minimizzare i costi secondo il modello della PL.</p>
11.02.12
<p>Un contadino dispone di 2 ettari di terreno. Il contadino non può dedicare più di 5 mesi l'anno alla cura dei suoi campi. Un ettaro coltivato a Renette Golden gli richiede 3 mesi di lavoro mentre un ettaro coltivato a Canada richiederebbe solamente 2 mesi di lavoro all'anno. Tuttavia un ettaro coltivato a Renette Golden frutterebbe 5 soldi ogni anno contro i 4 soldi ricavabili dallo stesso ettaro se coltivato a Canada. Dovendo decidere come impiantare il terreno, quale politica consentirebbe al contadino di massimizzare il suo guadagno? Formulare il problema secondo il modello della PL.</p>
11.02.12
<p>Un finanziere ha due piani di investimento A e B disponibili all'inizio di ciascuno dei prossimi cinque anni. Ogni dollaro investito in A all'inizio di ogni anno dà, due anni pi tardi, un profitto di 0.4 dollari (e può essere immediatamente reinvestito). Ogni dollaro investito in B all'inizio di ogni anno dà, tre anni dopo, un profitto di 0.1 dollari. In più da un certo momento in avanti sarà possibile sfruttare anche i piani di investimento C e D. In particolare, ogni dollaro investito in C all'inizio del secondo anno raddoppierà dopo quattro anni. Ogni dollaro investito in D all'inizio del quinto anno darà un profitto di 0.3 dollari l'anno successivo. Anche per i piano di investimento B, C e D vale la possibilità di reinvestimento come per il piano A. Il finanziere ha a disposizione 10000 dollari e vuole sapere quale piano di investimento massimizza la somma di denaro che può accumulare all'inizio del sesto anno.<br/>Soluzione:<br/>Guadagno totale all'inizio del IV anno: 15.480 $</p>
11.02.12
<p>Un'azienda produce tre modelli (I, II e III) di un certo prodotto. Ciascun modello richiede due tipi di materiali grezzi (A e B), di cui sono disponibili rispettivamente 4000 e 6000 unità. In particolare <br/>per produrre una unità del modello I sono necessarie 2 unità di A e 4 unità di B; <br/>per una unità del modello II sono invece necessarie 3 unità di A e 2 unità di B; <br/>infine, per una unità del modello III sono necessarie 5 unità di A e 7 di B. <br/>Il modello I richiede una forza lavoro doppia rispetto al modello II e tripla rispetto al modello III; la forza di lavoro disponibile in azienda in grado di produrre al massimo l'equivalente di 700 unità del modello I. Il settore marketing dell'azienda ha reso noto che la domanda minima per ciascun modello rispettivamente di 200, 200 e 150 unità. Il profitto unitario di ciascun modello e' rispettivamente di 30, 20 e 50 dollari. <br/>Formulare il modello di Programmazione Lineare di questo problema che massimizzi il profitto totale.<br/>Soluzione:<br/>Quantita' prodotte:<br/>- Modello I: 430,7<br/>- Modello II: 200<br/>- Modello III: 507,7<br/>Profitto totale: 42308 $</p>
11.02.12
<p>Il proprietario del ranch LITTLE DIXIE sta facendo dei test per determinare la mescola corretta per<br/>due classi di alimenti. Entrambi contengono in percentuali differenti quattro diversi tipi di<br/>ingredienti essenziali. L'alimento 1 ha un costo unitario di 5 dollari ed è formato per il 40%<br/>dall'ingrediente 1, per il 10% dall'ingrediente 2, per il 20% dall'ingrediente 3 e per il 30%.<br/>L'alimento 2 ha un costo unitario di 3 dollari ed è formato per il 20% dall'ingrediente 1, per il 30% dall'ingrediente 2, per il 40% dall'ingrediente 3 e per il 10% dall'ingrediente 4. Sapendo che devono essere impiegate come minimo 400 unità dell'ingrediente 1, 200 unità dell'ingrediente 2, 300 unità dell'ingrediente 3 e 600 unità dell'ingrediente 4, si vuole determinare la mescola di costo minimo.<br/>Soluzione:<br/>Alimenti acquistati:<br/>- Tipo 1: 2000<br/>- Tipo 2: 0<br/>Costo totale: 10000 $</p>
11.02.12
<p>La casa editrice ANALFABETA pubblica un quotidiano che viene distribuito da quattro centri di smistamento S1, S2, S3 e S4 che richiedono rispettivamente 100000, 150000, 50000 e 75000 copie. Il giornale viene stampato in tre tipografie T1, T2 e T3 che producono rispettivamente 125000, 180000 e 70000 copie. Sapendo che i costi per la spedizione sono di 0.01 euro/Km per giornale e che le distanze tra le tipografie ed i centri di smistamento sono rispettivamente di 20, 25, 15 e 5 Km. per la prima tipografia, 12, 14, 18 e 30 Km. per la seconda tipografia e 19, 11, 40 e 12 Km. per la terza tipografia, la casa editrice vuole pianificare le sue spedizioni giornaliere in modo da minimizzare i costi di spedizione.<br/>Soluzione:<br/>Costo totale di spedizione: 42150 euro</p>
11.02.12
<p>L'acciaieria PLASTIK deve evadere un ordine di 1000 tonnellate di acciaio INOX. Per questa produzione servono manganese (almeno l'1%), cromo (almeno il 18%) e molibdeno (almeno il 2%).<br/>I fornitori di metalli non ferrosi vendono, per esigenze di mercato, questi prodotti in tre tipi di confezioni differenti. La prima confezione contiene 2 Kg. di manganese, 2 Kg. di cromo e 1 Kg. di molibdeno e costa 20 euro. La seconda confezione contiene 2 Kg. di manganese, 3 Kg. di cromo e 1 Kg. di molibdeno e costa 30 euro. La terza confezione contiene 1Kg. di manganese, 2 Kg. di cromo e 5Kg. di molibdeno e costa 40 euro. <br/>Formulare il modello di Programmazione Lineare che minimizzi il costo di acquisto delle confezioni.<br/>Soluzione:<br/>Confezioni acquistate:<br/>- Tipo 1: 0<br/>- Tipo 2: 60000<br/>- Tipo 3: 0<br/>Costo totale: 1800000 euro</p>
11.02.12
<p>Una certa società ha tre impianti con capacità produttiva eccedente. Tutti e tre gli impianti sono in grado di produrre un certo prodotto e la direzione ha deciso di sfruttare in questo modo una parte della capacità produttiva in eccesso. Questo prodotto puo' essere fatto in tre dimensioni (grande, media e piccola) che forniscono un guadagno netto unitario di 12, 10 e 9 dollari. Gli stabilimenti 1, 2 e 3 hanno mano d'opera in eccesso e capacità per produrre 500, 600 e 300 unita' al giorno di questo prodotto, rispettivamente, non considerando l'ampiezza o la combinazione delle dimensioni in gioco. Comunque, la disponibilità dello spazio destinato al magazzinaggio durante la produzione limita il processo produttivo. Gli stabilimenti 1, 2 e 3 hanno 9000, 8000 e 3500 metri quadrati di spazio disponibili per questo prodotto. Ogni unità prodotta al giorno, in dimensione grande, media o piccola, richiede rispettivamente 20, 15 e 10 metri quadrati. Le previsioni di vendita indicano che si possono vendere al giorno, rispettivamente, 600, 800 e 500 unità dei prodotti in grande, media e piccola dimensione. Per mantenere il carico di lavoro uniforme tra gli stabilimenti e per ottenere una certa flessibilità, la direzione ha deciso che la produzione assegnata in più ad ogni stabilimento deve essere la medesima percentuale della mano d'opera in eccesso e delle macchine di produzione. La direzione desidera conoscere la quantità divisa per taglie da produrre in ciascuno degli impianti in modo da rendere massimo il guadagno. <br/>Formulare il modello di programmazione lineare di questo problema.<br/>Soluzione:<br/>Profitto totale: 14300 $</p>
11.02.12
<p>Una compagnia aerea sta considerando l'acquisto di nuovi aeroplani per passeggeri a lunga, media e corta percorrenza. Il prezzo d'acquisto sarebbe di 6.700.000 dollari per ogni aereo a lunga percorrenza, di 5.000.000 dollari per ogni aereo a media percorrenza e di 3.500.000 dollari per ogni aereo a corta percorrenza. La Compagnia ha autorizzato acquisti per 150 milioni di dollari. Senza riguardo a quali aeroplani siano stato acquistati, il viaggio aereo su tutte le distanze è considerato sufficientemente richiesto perché questi aeroplani siano utilizzati alla massima capacità. E' stato valutato che il profitto annuale netto (al netto degli ammortamenti) dovrebbe essere di 420.000, 300.000 e 230.000 dollari per gli aerei a lunga, media e corta percorrenza rispettivamente. E' stato previsto che vi sarà un numero sufficiente di piloti esperti per guidare 30 nuovi aeroplani. Se fossero acquistati solo aerei a corta percorrenza, le squadre di manutenzione potrebbero controllare 40 nuovi aerei. Tuttavia, in termini di manutenzione ogni aeroplano a media percorrenza è equivalente a 1 + 1/3 aeroplani a corta percorrenza e ciascun aereo a lunga percorrenza e'<br/>equivalente a 1 + 2/3 aeroplani a corta percorrenza. Le indicazioni sopra indicate furono ottenute da un'analisi preliminare del problema. Un'analisi piu' dettagliata sara' condotta in seguito. Comunque, usando i dati sopra indicati come prima approssimazione, la direzione desidera sapere quanti aerei di ogni tipo si dovrebbero acquistare in modo da rendere massimo il profitto. Formulare il modello di programmazione lineare per questo problema. (Ignorare il fatto che il numero di aerei deve essere intero).<br/>Soluzione:<br/>Aerei acquistati:<br/>- Lunga percorrenza: 14,3<br/>- Media percorrenza: 0<br/>- Corta percorrenza: 15,3<br/>Profitto totale: 9566087 $</p>
11.02.12
<p>Avete deciso di organizzare una cena a casa vostra. Poiché però siete troppo impegnati a studiare matematica, avete pensato bene di far cucinare i vostri amici, che d'altra parte sono ben lieti di aiutarvi. Dopo aver lungamente meditato sulle capacità culinarie dei vostri amici, siete giunti a stilare la seguente tabella, dove la cifra indica il vostro giudizio sulla corrispondente pietanza preparata dal vostro amico/a.<br/><br/>amico/a antipasti primi secondi contorni dolci<br/>Andrea....... 7 ..... 6 ..... 5 ..... 7 ..... 8<br/>Barbara...... 6 ..... 8 ..... 7 ..... 6 ..... 5<br/>Ciccio....... 6 ..... 5 ..... 4 ..... 4 ..... 8<br/>Doriana...... 7 ..... 8 ..... 6 ..... 6 ..... 6<br/>Everardo..... 5 ..... 6 ..... 7 ..... 5 ..... 0<br/>Florinda..... 7 ..... 8 ..... 8 ..... 8 ..... 6<br/>Gimmi........ 7 ..... 7 ..... 5 ..... 5 ..... 6<br/><br/>Il problema è quello di decidere se e cosa far preparare a ognuno, considerando che la vostra cena consisterà di una pietanza di ciascun tipo (ossia un antipasto, un primo, un secondo etc.) e che per discrezione non intendete chiedere a nessuno di preparare più di una pietanza.<br/><br/>Formulare in termini di programmazione lineare a numeri interi il problema di massimizzare la qualità della vostra cena.<br/><br/></p>
11.02.12
<p>La Làmed è una società che produce snack per aperitivi. La disponibilità di materie prime, alla fine di gennaio, è la seguente: 550 kg di arachidi, 150 kg di pistacchi, 90 kg di mandorle e 70 kg di nocciole. Ogni scatola contiene 500 grammi di prodotto. La Làmed produce quattro tipi di snack, descritti di seguito.<br/><br/>Il prodotto Mem ha composizione di solo arachidi e dà un profitto di 0.26 euro/scatola.<br/><br/>Il prodotto Num ha composizione di non più del 50% di arachidi, almeno il 10% di mandorle, almeno il 15% di pistacchi e dà un profitto di 0.40 euro/scatola. <br/><br/>Il prodotto Pe ha composizione di solo pistacchi e dà un profitto di 0.51 euro/scatola.<br/><br/>Il prodotto Qof ha composizione di almeno il 30% di pistacchi, almeno il 20% di mandorle, almeno il 30% di nocciole e dà un profitto di 0.52 euro/scatola.<br/><br/>Supponendo che tutto quanto prodotto venga venduto, formulare come PL il problema di massimizzare il profitto della Làmed.</p>
11.02.12
<p>Una fonderia utilizza quattro tipi di materiale grezzo, per ottenere un prodotto finale. Ciascun materiale ha un diverso contenuto di alluminio, silicio e carbonio. La tabella che segue riporta la composizione di ciascun materiale (espresso in percentuale sul peso totale), insieme al costo unitario.<br/><br/>.......... %alluminio %silicio %carbonio costo al kg<br/>materiale1 3 ........ 4 ....... 6 ........ 680 <br/>materiale2 5 ........ 4 ....... 5 ........ 750<br/>materiale3 1 ........ 2.5 ..... 4 ........ 450<br/>materiale4 4 ........ 5 ....... 7 ........ 870<br/><br/>Il prodotto finale deve avere un contenuto percentuale di alluminio di almeno il 3% e non superiore all'8%; un contenuto di silicio tra il 4% e il 5%; di carbonio non superiore al 5%. Formulare come PL il problema di pianificare la produzione di questa fonderia minimizzando i costi.</p>
11.02.12
<p>La Svivon produce batterie elettriche di tre tipi (Alef, Beth e Ghimel). Per due di esse <br/>(Beth e Ghimel) utilizza del rame. Per coprire la produzione del prossimo mese, può acquistare il rame al prezzo di 5 euro/kg. Il fornitore però non può fornire più di 4000 kg di rame. Nella seguente tabella sono indicate: la quantità di rame richiesta per produrre una scatola di ciascuna batteria (in kg per scatola), i costi di manodopera (per scatola prodotta) e prezzi di vendita al pubblico (per scatola):<br/> <br/>ALEF - 12 25<br/>BETH 1 6 20<br/>GHIMEL 2 4 30<br/><br/>I tre tipi di batteria devono essere prodotti in quantità tali che il numero di scatole di batterie Alef sia almeno doppio del numero di scatole di Beth e non superiore al numero di scatole di Ghimel.<br/><br/>1) Formulare come PL il problema di pianificare la produzione della Svivon in modo ottimo.<br/><br/>2) Dimostrare che la soluzione consistente nel produrre 2000 unità di Alef e altrettante di Ghimel (e nessuna scatola di Beth) è ottima.<br/></p>
11.02.12
<p>Un lanificio produce filato di tipo standard e di tipo speciale utilizzando 3 diverse macchine, le cui produzioni orarie sono le seguenti:<br/>macchina A: 3 matasse standard e 1 speciale<br/>macchina B: 2 matasse standard e 2 speciali<br/>macchina C: 2 matasse standard e 1 speciale<br/><br/>Il mercato richiede almeno 60 matasse standard e 40 di tipo speciale al giorno. <br/>I costi orari delle due macchine sono: 90 euro per la A, 80 euro per B, 60 euro per C.<br/><br/>Scrivere un modello di programmazione lineare per determinare la produzione giornaliera di costo minimo. (Non occorre imporre il vincolo che le ore giornaliere non superino 24.)<br/></p>
11.02.12
<p>Un allevatore vuole ottenere una razione alimentare per bestiame dalla miscela di due prodotti, P e Q, in commercio che, rispetto a tre caratteristiche nutritive A, B, C sono così composti:<br/>- ogni chilo di P contiene 0,4 chili di A e 0,3 chili di C;<br/>- ogni chilo di Q contiene 0,3 chili di A, 0,4 chili di B e 0,3 chili di C.<br/>Sapendo che per una corretta alimentazione occorrono giornalmente almeno 2 kg di A, 1 kg di B e 2,4 kg di C, e che il costo del prodotto P è di 300 euro/kg e quello del prodotto Q è di 500 euro/kg, determinare quanti kg di P e quanti di Q l'allevatore deve miscelare per ottenere una razione giornaliera di costo minimo.<br/></p>
11.02.12
<p>Una nave può trasportare due tipi di merce, M1 e M2. Ogni tonnellata di M1 occupa un volume di 0,6 metri cubi, e ogni tonnellata di M2 occupa un volume di 0,4 metri cubi. La nave ha un volume massimo disponibile di 1800 metri cubi e non può trasportare più di 4000 tonnellate di merce; inoltre, la quantità da trasportare di M2 deve essere non inferiore a quella di M1.<br/>Sapendo che dal trasporto della merce M1 si ha un utile di 40000 euro per tonnellata, e dal trasporto della merce M2 si ha un utile di 30000 euro per tonnellata, determinare la composizione del carico più conveniente.<br/></p>
11.02.12
<p>Un imprenditore vuole programmare la produzione di due beni A e B utilizzando due macchine M1 e M2, che possono lavorare settimanalmente per 40 ore ciascuna.<br/>Per produrre una unità di A occorrono 40 minuti di lavoro di M1 e 30 minuti di lavoro di M2; per produrre una unità di B occorrono 30 minuti di lavoro di M1 e 60 minuti di lavoro di M2. Per esigenze di produzione, ogni settimana devono essere prodotte complessivamente almeno 50 unità.<br/>Sapendo che il costo di produzione di ogni unità di A è di 1000 euro ed il costo di produzione di ogni unità di B è di 1200 euro, determinare la combinazione produttiva di minimo costo complessivo.<br/></p>
11.02.12
PROGRAMMAZIONE LINEARE
